作者 yueayase (scrya)標題 Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？時間 Thu May 18 23:03:57 2023
※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: 對小學生來說這個有點困難，因為小學生普遍沒什麼代數的概念
: 我比較建議擱置這問題。
: : 二、如果是對國中生說
: : 三、如果是對高中生說
: : 0.9bar = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ......
: : = 0.9 x 1 +
: : 0.9 x 0.1 +
: : 0.9 x 0.01 +
: : 0.9 x 0.001 + ......
: : = 0.9 x (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 +......)
: : = 0.9 x (1 / (1- 1/10 )) (無窮等比級數 懶得用sum寫)
: : = 0.9 x 10/9
: : = 1
: 你對國高中生說的話其實是一樣的
: 高中數學裡面，得出無窮等比級數和 = 首項/(1-公比)，
: 使用的手法就是你對國中生講的話
: : 四、如果是對比較強一點的高中生 ~ 有點數學背景的大學生
: 這間我們切入這問題的核心：什麼是0.9bar？
: 其實這問題我覺得沒有那麼trivial，因為即便到高中，
: 雖然大家操作無窮等比級數幾乎都手到擒來，
: 但其實大多數學生沒有好好想過那個"∞"在幹啥
: 對很多人來說，"0.9999999999999999......" 是一種感覺
: 「就是0.9 0.99 0.999 ... 0.9999999999999@#$@#$@#$@#$@ .... 一直寫下去」
: 然後就不知道該怎麼描述了
: 其實我們幫這些直覺翻譯一下，會得到下面這結果
: 定義數列 An = 0.999...99 (小數點後面n個9)
: A1 = 0.9, A2 = 0.99, A3 = 0.999, ........
:
: 0.9bar = lim An
: n->∞
: 基於上面的描述，會得到 0.9bar = 1
: 不同意的，就叫他自己描述一下他心中的 0.9bar 是什麼樣子
: 如果對方無法定義自己心中的 0.9bar 卻還是堅持不等於1 ....
: 可能是腦袋剛好打結了
: 讓他看一下角卷綿芽的直播舒緩一下吧
: https://youtu.be/l6rlIOetkwg (現正直播中)
推ThousandSnow: 我是用反證法說服自己0.9bar=1，如果等號不
成立的話會出大事
看到這句話，我想起其實在高微或是實分析有時候想要證明相等或是=0
大概會用到這個敘述:
x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y
而這個敘述成立的證明，的確就是反證法:
(這裡用反證法)
Suppose x < y+εfor all ε > 0 and x>y
Then take ε= y-x > 0
Then x < y+(y-x)=x, -> <-
So, x≦y
(這裡不用反證法)
Coversely, suppose x≦y and let ε > 0
We consider
(i) x < y
Then x = x+0 < y+0 < y+ε
So, the relation holds when x < y
(ii) x = y
Then x = y+0 < y+ε
So, the relation holds when x = y
Since ε is arbitrary, x < y+εfor all ε > 0
如此一來就證明了這個結果
但這個結果其實我們也可以換個角度改寫:
x > y-εfor all ε > 0 if and only if x≧y
成立的理由非常簡單， x > y-ε <=> y < x+ε
那這個就只是把前面的結果x,y互換而已
所以可能會常常看到像是什麼|OOXX| < ε for all ε > 0
所以得到OOXX = 0這種東西
我相信你在處理這個會發生大事的過程，大約也是有用到這個概念...
但這個必須建立在對0.999.....9(m個，m可能很大，像是1000000000000000，但是是有限)
和lim 0.9999...9(n個)能夠區分的前題下，這個論述才有意義
n->∞
0.999.....9(m個，m可能很大)是不是1? 當然不是
但取limit(也就是在符合epsilon-delta statement下的那個L)是1
lim 0.9999...9 本來就不是在說0.9999..9(m個，m可能很大)是多少
n->∞
因此在學極限時，不要把能在紙上寫出來的東西，當成是limit的值是很重要的
而x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y
這個性質看似不直覺和奇怪，倒是常常用來處理證明定理的其中一種方法
然後原問題其實是在討論所有質數的集合和自然數的集合的cardinality
解決方法就是要認識在無窮集的cardinality相等是怎麼定的(也就是存在一個bijection)
然後去找every infinite subset of a countable infinite set is countable的證明
這樣就保證P和N之間有bijection了
這些其實你只要讀過像是 Discrete and Combinatorial Mathematics by Grimaldi
大概就知道怎麼回答這個問題，而這個也只需要大學部程度就可以了
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.47.89.139 (臺灣)
※ 作者: yueayase 2023-05-18 23:03:57
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1684422239.A.50C.html
※ 同主題文章:
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-18 23:03 yueayase
放棄，直接從PCman改成ANSI模式複製看來不行QQ
※ 編輯: yueayase (114.47.89.139 臺灣), 05/18/2023 23:08:36
→ gn0111: 我也這麼覺得3F 05/18 23:08
推 JohnShao: 這一串真的讓我感覺到ptt是學術論壇而且大學生以上才能註冊4F 05/18 23:08
其實本來就是學術論壇吧... 只是近幾年風氣就...
※ 編輯: yueayase (114.47.89.139 臺灣), 05/18/2023 23:09:44
推 smallreader: 奧妙 雖然N⊂Z⊂Q但可數無窮大的cardinality都一樣6F 05/18 23:26
這個其實我當初在學離散的時候，我也問過教授這個問題啊...
只是後來就慢慢接受了...
但這樣定的原因就是，原來有限集可以靠點出這個集合有多少個元素
但無窮的話... 就不能靠這件是判斷啦...
因為你沒辦法寫出有多少個，我這邊也不行..
所以就想要用比較間接的方式處理囉...
像是bijection在有限集看起來就像是一樣多
那就把這個特性拿來無限集看看會發生什麼事
這種無窮無法互相比較在微積分就是以不定式的方式呈現
但cardinality本身和不定式也沒有直接關係就是了
只是這呈現了無窮和無窮比較，結果會有不同，所以叫做"不定"式
※ 編輯: yueayase (114.47.89.139 臺灣), 05/18/2023 23:33:44
→ smallreader: 但如果限制一個範圍，就能比較大小，有理數雖然還是無窮多，但自然數和質數的大小數得出來，就能比了7F 05/18 23:31
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