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作者 zax8419 (小火馬)
標題 Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
時間 Tue May 16 19:11:12 2023



直接說結論: 一樣多



姑且身為一個有靠數學招搖撞騙的小廢廢 應該可以提供個簡單的解答

但我知道西洽存在112數學系拿卷畢業 然後現在應該在國外讀博的版友

偶而也有112數學系畢業 然後讀電機碩的版友


相比之下我就只是個廢物Q_Q



關於自然數與質數誰比較多 這個驗證方式應該分為兩個步驟

1.質數是否為無限多個?
2.若質數為無限多個 那質數與自然數如何比較?


首先1.

質數有無限多個。

其證明方式非常簡單 用最基本的反證法即可

因"質數有無限多個"與"質數為有限多個"為相反的命題

故先假設"質數為有限多個"

則我們可以從小到大 將所有質數編號 p_1,p_2,p_3......p_n   p_n為最大的質數

而若我們寫出一個大數N為所有質數的乘積

則會發現N+1不能被以上所有的質數給整除(餘數皆為1)

那麼就可以得出N+1亦為一個質數 且比p_n還要大 與最初的命題矛盾

所以可以得知"質數有無限多個"  Q.E.D


再來2.

無限多個的自然數 與 無限多個的質數 其數量一樣多

非常簡單

我們可以說

"第一個"自然數為1  "第一個"質數為2
"第二個"自然數為2  "第二個"質數為3
"第三個"自然數為3  "第三個"質數為5
.....
以此類推

所有"第N個"自然數都可以對應到一個數 同時"第N個"質數亦可對應到一個數

那麼儘管有點違反直覺 但實際上論"個數" 則自然數的個數與質數的個數是一樣多的

或者說 只要能找到任何一個無法同時存在有"第M個"自然數 但沒有"第M個"質數的狀況

就能說自然數的個數 與 質數的個數不相同

這種概念在所有的"可數集合"均成立

進階一點就像"有理數的的個數"也與"正整數的個數"是一樣多的

但是當命題拉到不是可數集合的時候 就不會那麼簡單了

就像無理數的個數有無限多個 正整數的個數也有無限多個

但無理數的個數卻是遠大於正整數的個數


不過要去說明就懶了 大概也沒人在乎


數學嘛 就是這麼反直覺 唉

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                        https://imgur.com/r8P0qbu.jpg
                        你跟我說這個 我有什麼辦法

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 116.89.129.129 (臺灣)
※ 作者: zax8419 2023-05-16 19:11:12
※ 文章代碼(AID): #1aOsJLBO (C_Chat)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1684235477.A.2D8.html
※ 同主題文章:
[問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-16 15:33 benjy0218
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-16 19:11 zax8419
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-16 19:41 FEMF
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-17 00:08 E7lijah
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-17 10:12 comp2468
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-17 12:08 arrenwu
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-17 14:07 allenpong
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-18 01:30 zax8419
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-18 03:10 arrenwu
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-18 04:17 yueayase
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-18 12:14 comp2468
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-18 12:52 chordate
Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-18 23:03 yueayase
推 ainamk: 「無理數的數量跟有理數的數量中間有沒有別的無限」1F 05/16 19:12
推 hutao: 對於那些主張正解應該是無法比較而不是一樣多的有何看法2F 05/16 19:13
請他們找個數學老師問。

→ ainamk: 這個問題的結論好像也是讓數學界很頭大3F 05/16 19:13
推 Lisanity: 你很厲害www4F 05/16 19:13
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 19:14:02
推 Lass1n: 你好認真5F 05/16 19:14
推 fman: 趕快推不然被人發現我看不懂6F 05/16 19:15
推 gox1117: 跟文組解釋那麼多幹嘛==7F 05/16 19:15
推 CATALYST0001: 每次都覺得數學才是真正的玄學==
我不能只會微積分跟傅立葉變換就好了嗎：（8F 05/16 19:15
→ chordate: 質數無限多個這個高中就有證了
至於要證質數和自然數一樣多可沒有這麼簡單
要找到bijection10F 05/16 19:16
推 ainamk: https://pbs.twimg.com/media/FrOKQF3akAAvYMV.jpg
代自然數n進去會生出第n個質數的謎公式13F 05/16 19:19
[圖]
推 HAmakers: 想起以前考資工所離散數學的數論 真的不知道在供三小15F 05/16 19:20
推 smart0eddie: 嗯嗯 跟我想的一樣16F 05/16 19:22
推 sunshinecan: 推個17F 05/16 19:22
推 Mormory: 那什麼神祕公式啦 XDDDD18F 05/16 19:25
→ chordate: 另外一個比容易的方法，就是找兩個1-1函數19F 05/16 19:26
推 Rust: 證這個不需要用複雜的公式啊 只要有演算法算出第N個質數就好了 有人問為何是bijection就說是一個一個數的
另外一樓說的是連續統假設 在ZFC內無法證明也無法證否20F 05/16 19:27
推 ainamk: 樓上你不要再加新名詞了 到時候有人好奇ZFC是什麼XD23F 05/16 19:31
推 poornow: x=024F 05/16 19:32
推 alfa871212: 講的不錯 易懂25F 05/16 19:33
→ chordate: 因為質數是自然數子集，一邊的1-1很容易
另外一邊就用Well-ordering principle可以做出來26F 05/16 19:39
推 lightKevin: 好 我問 ZFC是什麼28F 05/16 19:42
推 opeminbod001: 講中文啦 乾29F 05/16 19:42
→ chordate: ZFC就是現在數學最常用的公理系統30F 05/16 19:46
→ CATALYST0001: 那有KFC嗎？31F 05/16 19:46
推 ainamk: ZFC的概念就是把早期數學中發現的重要邏輯矛盾補起來32F 05/16 19:47
推 Rust: 有人會問公理系統是什麼33F 05/16 19:47
推 a1487546: 推，寫的蠻好懂的34F 05/16 19:48
推 wohtp: 都在算第一個質數、第二個質數了，這不是bijection什麼才是35F 05/16 19:48
推 ryu1735: 推推文36F 05/16 19:48
→ chordate: 不是，證明不能直接說第一個第二個，因為說第一個第二個隱含的意思就是你找到一個函數對應自然數和質數
你要真的把拿個函數做出來才是證明37F 05/16 19:49
我是覺得啦 除非是本科系的 不然越講越細節只會讓大家越來越排斥數學

唉 數學其實很有趣的

推 ainamk: (指指我po的圖)40F 05/16 19:50
→ Rust: 如果是找一對反函數 函數用演算法的形式寫出呢41F 05/16 19:53
推 Orangekun: 我以為不能直接用第1、2、3個來證明，而是要證明一一對應的關係才能知道他們是一樣多？例如自然數跟偶數一樣多可以符合n與2n，有幾個自然數就有幾個偶數這樣42F 05/16 19:55
科普向的就別要求那麼多了

你要我全部完整寫出來就也沒人要看了(實話是我也懶得寫)

推 zseineo: 雖然是不懂數學但看一些科普書真的覺得數學就是魔法45F 05/16 19:55
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 19:58:06
推 ainamk: 就算喜歡數學也不見得會想要自己跳下去完整解題老實講XD46F 05/16 20:02
推 kankandara: 有一個旅館 每個房間都有一個不重複的自然數編號 今天來了一群客人 每位客人都有一個質數編號  每位客人都要住進字面上等同自己編號的房間 所有客人check in 完成後 空房間是無限的嗎？有住人的房間是否遠少於沒住人的房間？
（客人的質數編號也相互不重複）47F 05/16 20:05
推 oToToT: 謝謝你希爾伯特53F 05/16 20:08
推 abadjoke: 淺顯易懂54F 05/16 20:11
推 NicoNeco: 所有質數的乘積+1 不一定是質數吧?55F 05/16 20:15
這邊要先注意到前提 是"質數為有限多個"
而這個乘積+1 除以 任何一個質數均是餘一
其他所有的合數也可以視為質數的乘積(可以質因數分解)
從定義上 這一個數的正因數僅有"1"與"自己"時 就是個質數
那這個N+1就會是個質數
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 20:19:30
推 GaoLinHua: 有無限的房間卻常常客滿的飯店56F 05/16 20:19
推 AirO0264400: 0..057F 05/16 20:21
推 Hosimati: 假設有n個質數 1.其實還有第n+1個質數可以整除N+1 2.N+1是質數58F 05/16 20:22
推 gsmfrsf: 謝謝你數學人 看到推文那個公式有個cos我更不懂了60F 05/16 20:26
推 leo125160909: 感謝科普61F 05/16 20:31
→ GodVoice: 我把標題改寫一下 應該就能讓人懂了吧
1000個自然數跟 1000個質數 誰比較多???62F 05/16 20:31
五公斤的棉花 跟五公斤的鐵塊 誰比較重
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 20:32:33
推 inte629l: 推個 以前修過數學系的數學導論，後來就聳了...
是說ZFC好像是集合論會帶到的東西?64F 05/16 20:35
推 ainamk: 其實反證法這東西即使是理工科的人也有不小比例搞不懂…66F 05/16 20:35
推 gs8613789: 黃子嘉有教過67F 05/16 20:37
推 lancelot123: 1樓說的那個東西是戴德金分割，已經有證明了68F 05/16 20:52
推 ainamk: 樓上你再看清楚一點我寫的東西是什麼XD69F 05/16 20:53
推 rey123123: 你好棒70F 05/16 20:54
→ chordate: Dedekind cut是講實數完備性
跟不連續統假設是兩件事71F 05/16 20:55
推 liweitsai: 講的很有道理 對吧發仔73F 05/16 20:59
推 rjaws: 以中學數學來說，你寫的很棒，好懂又沒省略太多74F 05/16 21:03
推 Darnatos: 嗯嗯 就是這樣75F 05/16 21:09
推 nisioisin: 寫得蠻好理解的耶76F 05/16 21:52

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