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作者 arrenwu (最是清楚哇她咩)
標題 Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
時間 Fri Dec 29 15:16:16 2023

※ 引述《lolic (白蝙蝠巴比特)》之銘言：
: https://i.imgur.com/uswIEJV.jpg
: https://i.imgur.com/AGoauMh.jpg
: 已知有三個門
: 如果你挑了a門 在知道b門為錯誤情況下
: 選c門正解機率是2/3
: 不是啊  就算知道b門是錯誤解
: 但還是a跟c在選啊
: 正解機率應該是一半一半吧
: 怎麼換c門就可以把b門加進來考慮
: 年底最後一天上午都在煩惱這問題
: 囧rz
: 版上有沒有數學小老師 洽
那我們定量分析一下吧

先複習一下題目
參賽者會看見三扇門，其中一扇門的裏面有一輛汽車，選中裏面是汽車的那扇門，就可以
贏得該輛汽車，另外兩扇門裏面則都是一隻綿羊。當參賽者選定了一扇門，主持人會開啟
另一扇是綿羊的門；並問：「要不要換一扇門？」


這邊要講清楚相關事件的機率分布：
        1. 三扇門有大獎的機率都是 1/3
        2. 參賽者一開始選擇任意一扇門的機率都是1/3，跟大獎在哪扇門無關
           (其實參賽者選門的機率分布可以隨意 這邊用1/3方便說明)
        3. 如果參賽者選到大獎，主持人會任意選另外兩扇門的其中一扇打開
        4. 如果參賽者沒選到大獎，主持人只會打開剩下兩扇終沒大獎的門

https://i.imgur.com/0KCY8UH.jpg
[圖]

讓我們考慮一個非常明確的情況：
        參賽者選了第1扇門，主持人當他的面打開了第2扇有綿羊的門，
        請問此時大獎在第3扇門的機率是多少？

我們定義以下隨機變數，
        W = 參賽者一開始選的門
        T = 大獎位置
        M = 主持人開的門
並且用數字 1,2,3 分別代表 第1扇門, 第2扇門, 第3扇門

所以黃字問題變成求 P(T=3|W=1, M=2) 的值

好囉 現在進入大家最喜愛的計算時間了！

P(T=3 | W=1, M=2)  = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2)  (貝式定理)

1. P(T=3) = P(大獎在第3扇門) = 1/3  (easy)

2. P(W=1, M= 2| T=3) = P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1)

   P(W=1|T=3) = P(參賽者一開始選第1扇|大獎在第3扇門)

              = 1/3  (參賽者一開始選哪一扇門跟大獎在哪一扇門沒關係)

   P(M=2|T=3, W=1) = P(主持人打開第2扇門|大獎在第3扇，參賽者一開始選第1扇)

                   = 1

   所以 P(W=1, M= 2| T=3) = 1/3 * 1 = 1/3

3. P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3)
                ( P(W=1, M=2, T=2) = 0 因為不可能大獎在第2扇主持人還開第2扇)

  P(W=1, M=2, T=1) = P(T=1) * P(W=1|T=1) P(M=2|T=1, W=1)

                   = 1/3 * 1/3 * 1/2

  P(W=1, M=2, T=3) = P(T=3) P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1)

                   = 1/3 * 1/3 * 1

  所以 P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3)

                   = 1/3 * 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/3 * 1

                   = 1/6

讓我們把藍字部分全部兜起來！

P(T=3 | W=1, M=2)  = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2)

                   = 1/3 * 1/3 / (1/6)

                   = 2/3

換句話說，就是
        參賽者選了第1扇門，主持人當他的面打開了第2扇門，
        此時大獎在第3扇門的機率是 2/3

這樣子，當然要換囉！因為不換的話中獎機率就剩下1/3了

對羊有興趣的話，記得晚上8點來看可愛羊羊角卷綿芽的四周年Live!!!!
Link: https://www.youtube.com/watch?v=W6hZ1EYa37g

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鳳雛的清楚講習
https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg
https://i.imgur.com/wD6J6li.jpg

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.195.96 (美國)
※ 作者: arrenwu 2023-12-29 15:16:16
※ 文章代碼(AID): #1bZd949c (C_Chat)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1703834180.A.266.html
※ 同主題文章:
[閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
12-29 13:09 lolic
Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
12-29 14:35 zyxx
Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
12-29 15:16 arrenwu
Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
12-29 15:29 Deltak
Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
12-29 15:48 nahsnib
Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
12-29 15:54 rabbithouse
Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題
12-29 18:06 dukemon
→ peterisme17: 原來WTM是山羊!1F 12/29 15:19
改成綿羊好了
推 amkikau: 你這宣傳蹭的厲害2F 12/29 15:19
我這篇學術純度有87%以上吧
推 e60210285: 其實開到WTM才是最大獎（確信3F 12/29 15:25
推 SangoGO: 我看了那麼多，只知道綿芽一定沒有錯！
感覺這個主題根本可以拿去小短片了（？4F 12/29 15:25
好像有道理耶 之後WTM如果徵求綿強沒錯題材我也嘗試投稿這個好了
推 tg9456: 不 我不愛計算時間6F 12/29 15:27
推 ainamk: QED最近也有提這個 然後有提到最常用的百門解釋法的漏洞7F 12/29 15:28
推 weltschmerz: 可能因為我學過bayes所以我完全不知道為什麼有人不換==8F 12/29 15:35
推 ainamk: 用算的都很簡單而且算法有很多種 難點是解釋不對稱在哪裡百門解並沒有解釋為什麼不對稱 他是用更大的不對稱逼你認10F 12/29 15:36
推 inte629l: 推12F 12/29 15:42
→ peterisme17: 百門解釋法的漏洞是什麼?13F 12/29 15:44
→ ainamk: 就 百門法其實沒有解釋任何東西 只是放大問題內在的不對稱14F 12/29 15:48
推 chctonagisa: 這當然不換 我要綿羊15F 12/29 15:48
→ DEAKUNE: 太好了，直接選WTM16F 12/29 15:50
推 SangoGO: 開出車，是446坐手推車，開出羊就是WTM對吧（17F 12/29 15:55
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 12/29/2023 16:02:51
推 starbiscuit: 因為百門法不是要解釋，而是說服 三門就已經解釋了18F 12/29 17:34
推 dodomilk: 小短片我以前做過啊，其實很多人做過，YT上找一堆19F 12/29 18:51
推 aegius1r: 不是 你的wtm超框了20F 12/29 19:12

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