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是過氣問題。不過再來廢話幾句。
總之有興趣的請再隨意看看吧。

我前一篇提到但沒講清楚的第一個問題，
我反而覺得應該文組人以敏銳的思維該想得到的，
不知何故少有人質疑。
（也許被一堆偽理工人罵怕了？）

那就是：
憑什麼你寫一個 0.999999…… 這種怪東西，
就要讓人相信有這東西在啊？

假如今天我宣稱，
有個東冬大神是唯一真神，陸法言是神的使者，
你們都該信他。
東冬大神主宰了你的一切思考，祂就是你的一切思考。
Εν αρχη ην ο λογοç！


這個反應才正常吧？

而不是：
我覺得東冬大神雖然主宰思考，可是他不等於一切思考……

當你講這句話的時候你不是默認了這啥鬼東冬大神的存在？
是被我洗腦了嗎？
（唔我還真希望能傳播這個教！
  世上神棍多得很，也不必每個都像 obov 一樣高級吧？）
許多爭執往往似乎是先承認 0.999999…… 或說 0.9 這怪物的存在，
然後才爭論他到底是不是 1，
為什麼不打一開始就懷疑何以能亂寫這個東西就說他存在呢？


所以它的九倍是 3，它本身是 3/9 = 1/3？

為什麼這樣亂寫都能成立？


真正要講清楚，
恐怕還是得回歸到脈絡去講。

這麼寫真正代表的意義其實只是表示某種級數，
一個累加的過程，
背後由於某些定理保證了它收斂，保證了它各項構成柯西序列。
而柯西序列似乎可以走向某個確定的終點。（似乎，非必然）
（由於循環小數必可走回有理數的世界，這裡還不必涉及完備性。
且先不論。但有完備概念會好些。）

在這個意義上，
才可以說 0.999999…… 是個有意義的表達法。
它的意義其實就是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ……
這麼累次相加的「終點」。

而這個加的過程，
你會發現，
你愈加它會變得愈大，
它雖然永遠不超過 1，
可是它愈來愈逼近 1，
你設定任何一個比 1 小一點點的數字，
總有一天都會被它這個過程超過過去。

可是你同時也會發現，
你設定任何比 1 大一點點的數字，
它卻再怎樣也達不到那個數字，它永遠無法越過 1 這個點。

是在這個意義上，
我們說，
1 就是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + …… 這個程序的
最小上界
也就是是比它大（上方）的一個界限，
卻又不會大太多，而是恰恰好是一切上界裡最小的一個。

因此我們說，0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + …… 的終點就是1，
我們索性說 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + …… 就是 1！

但這種說法是經過了好幾道加工程序的，不是那麼理所當然的。

在同一個意義下，

0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + ……
（從 0.5 出發，每次加前項的一半）
一樣等於 1
（可是你會發現它一樣「每次都比 1 小卻愈來愈逼近1」）

類似地，

2/3 + 2/3^2 + 2/3^3 + 2/3^4 + …… 一樣等於 1。

（先只討論每項皆正的級數的話）
舉凡一切以 1 做它遙不可及卻又緊迫步步逼近的目標的，
這些級數一律都視同為 1！

小心的是這裡涉及的語意脈絡。
它的等於是在特定意義下的等於，不是隨隨便便的等於。

而對於寫出來的記號，
第一個感覺應該是去質疑這倒底是否有意義，
而不是對一個也許沒意義的東西去爭論它的確切意涵是啥。

弄不清楚在什麼脈絡下作討論，勢必會造成錯亂。
而對於寫出來的記號，
第一個感覺應該是去質疑這倒底是否有意義，
而不是對一個也許沒意義的東西去爭論它的確切意涵是啥。

其他像是不同意義下的收斂乃至收斂值等等就不多說了。
（像是某些積分是否有意義也有相同的問題：看你在哪個脈絡底下說。）
這裡只做初步說明就好。

另外，對文組人推薦的一本（某些人會認為過氣）的書：
史賓格勒的《西方的沒落》（Der Untergang des Abendlandes）。

這本書就試圖探討了幾種數學思維在文化上的意義。
在許多其他文化脈絡下看似不可理解的爭論，
在特定文化裡卻甚至主導了該族群的思維慣性乃至興衰！
當然啦這麼大氣磅礡（擅長唬爛）的書，它的缺點也不用我多說。
但畢竟讀來還是很有意思的。

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Repetitio est mater studiorum.

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