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全文恕刪。

目前為止，許多熱情鄉民已提供了各種親民的普遍見解，
雖然呈現著從接受到反對的光譜，但仍不失為從18～30年齡層的意見取樣。

小弟雖然沒有涉獵過教育哲學或是數學哲學，
對於各個文明的數學史還是稍有興趣的，
因此若要強分光譜，我也許會站在靠向「可以接受」的那一邊吧。
然而如此一來，心目中對於長年以來早已習慣的交換律卻不免有點歉仄之意，
因此雖是可以接受，卻想找尋反對方的強力意見，便成為小弟的初衷。

在此，小弟斗膽為這串文再添一篇，
然而這次並非從我個人角度出發，
而是以google搜尋引擎為世界之窗，
使用英文這個以情報量來講更為豐富的語言來進行相關問題的搜尋。
令我意外的是，這其實是一個非常火熱的問題，
請待小弟娓娓道來。

今早一起便接觸到的這一串文，其精彩度實是超乎小弟想像。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝前文結束，賺點賭本，洩洩。

就像奇摩知識加總是隨便搜尋之後就貼答案一樣，
八卦版也偶有wiki後就PO上來而被噓的案例；
然而，本串討論文中卻沒有出現過類似的學理討論，
因此小弟的出發點首先就是乘法的維基百科條目：乘法。

http://zh.wikipedia.org/wiki/乘法
中文維基開宗明義地闡明乘法即為連續加法的定義，
因此強烈反對這一出題概念（方式、意圖、理念...etc.）的各位鄉民們，
情感上如何當然是個人自由，但如果這個百科的權威指數足夠的話，
各位恐怕也只能淪為外行意見了。

看過了英文版的乘法條目(multiplication)以及交換律(commutative property)，
其中也沒有說明交換律的基礎或是使用。
英文版乘法：http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication

BUT，這都只是個開始。
就是這個BUT，讓事情有了轉機。
就在小弟正欲放棄之際，定睛一看卻發現了有趣的線索。
3 x 4 = 3+3+3+3 = 12
的下面，出現了這一段文字。

Educators differ as to which number should normally be considered as the
number of copies, and whether multiplication should even be introduced
as repeated addition.[1]
（教育者對於是否應該把乘法視為數字的增加備份或是重複的加法意見分歧。）

哦哦，這不就是此時此刻的學童、家長、老師乃至於鄉民的煩惱嗎？
而且這還不是來源請求，而是有憑有據的引用敘述！
我立刻打開了這個連結。
這是一份投影片，在一個2009年舉辦的跟教育有關的會議上報告，

要計算輪子的話哪一個才是3*4？之類的問題。

然後是第八頁的第一章投影片，我們看到了一段引用敘述，
這一段則來自英國數學家Keith Devlin。
http://en.wikipedia.org/wiki/Keith_Devlin
引文我就不附了，小弟僅提供個人的粗俗劣譯，請海涵：

「乘法很單純地不是連續的加法。
告訴小學學生『是』將無可避免地會在他們後續了解到『不是』的時候出現問題。
自然數的乘法當然會得到與連續加法一樣的結果，但這不代表他們相同。
此時教給他們錯誤的觀念而假設他們能自己日後更正不是個好主意。
而告訴他們乘法是連續加法這種事情無疑地會招致問題。」

這段的文字非常強烈表達Devlin教授的立場。
瀏覽一下他的書單，不難發現他是個致力於科學普及的人，
就算是針對這一道題目表達強烈反對的鄉民也不太會否認連續加法的教學法吧？
然而他卻這麼做了。

我很好奇他這番言論的初衷，因此展開了進一步調查，發現另一個維基條目。
那是「Multiplication and repeated addition（乘法與連續加法）」。
是的，這竟然是一個條目！
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_and_repeated_addition
有興趣的鄉民請自行閱覽。

簡而言之，這個條目記載著1990年代以來針對這個問題的爭端；
雖然這對餘日常生活幾乎不會有任何影響，但是是個可以在許多角度被討論的問題，
諸如：數學的公理系統、教育學、學習方法設計、數學史、數學哲學等。
而這個爭論的大爆發是在2008年的年中，
以一個在橫跨時間長河的人類文明中舉足輕重的數學歷史事件來講，這可說是非常近，
甚至可以說是「剛剛」發生的事情。

那是Devlin教授在MAA論壇上發表的文章，It ain't no repeated addition，
也就是上述引文的出處。
http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_06_08.html
有興趣的鄉民請自行閱覽，此處僅提供小弟的簡單整理。

他強烈地認為加法和乘法就是對於整數做的兩件不同的事情，
他們分別代表整數的可以被加的特性以及可以被乘的特性的實踐。
如果將乘法視為連續的加法的話，
同理，在日後的指數對數運算，何不就將指數運算視作連續的乘法就好呢？
這麼一來一切也都還是一樣啊。

這可視為是這一波爭論的開端。
此篇文章之後，他收到排山倒海的信件，主要來自於第一線的教學工作者，
大家都很想知道到底為什麼不能這樣教，
又或者是，
「就算認知上是錯誤的，如果我的小孩可以正確的按計算機，那有什麼不好呢？」
之類的言論。
因此，他在去年底的MAA論壇再度發表補充說明，
小弟私以為這雖然不是討論的終點，卻是一個良好的匯合點，
關於這個議題的所有分歧，或可於此得到各自不同的觀點與啟發。

這篇文章在2011年刊出，標題為What Exactly is Multiplication?。
究竟，什麼是乘法？
經過這些年，Devlin教授也累了，他表示，
他此時此刻能做得最好且唯一能做的事情，就是告訴大家他心目中的乘法到底是什麼。

他提出的核心觀念是「倍率」與「維度」。
一袋蘋果10顆，3袋幾顆？
或是，一打鉛筆，每枝8元，總共幾元？（老師，這裡有枝8耶！）
的問題都還容易處理，因為他們的單位是可以相消的。
問題是如果不能相消呢？

1）倍率沒有單位
我把2.7吋的X棒延伸成3.8倍長度，這樣會是多長的X棒？
你如何把2.7吋「加」3.8次？他根本就不是把多少個2.7吋加起來的問題。

2）複合單位？
我打造一個2.7吋*3.8吋的28.5平方吋木板。
你如何加？
如果說乘法的定義是連續加法，那這裡的乘法顯然也可以回到連續加法定義，
但是這裡涉及維度的跳躍之後，不存在任何一種解釋可以說明維度的跳躍問題。

而且這兩種問題都是小學就會遇到的。
並不是說一定要念到數學系才會發現這些問題。

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這篇文章小弟希望可以提出一些我們都沒有看見的視角，
多思考一些的話，也能為本串文增添更多知性的趣味。

希望無論是接受或反對，都能獲得些什麼，
那小弟賺這P幣也就心安理得了。

感謝大家。

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