不要這樣嘛，我覺得我寫得很平易近人啊QQ

話說我忘了附ref.，文章中內容大都是從《数学ガール／ポアンカレ予想》抄的。
書名暫譯為《數學女孩／龐加萊猜想》，是數學女孩本傳的最新作。
我猜明年二三月左右會出版吧。
大家聊聊天嘛
其實你可以想成，
球面上任兩點最短距離之連線，即為球面上的線段（唯一，符合第一公理）。
而線段在曲面上的延長，就是直線（符合第二公理），只是比較一般化的稱呼是測地線。

數學本來就很不直觀不是嗎XD
首先，數學中「直線」、「測地線」都只是名詞，其意義是由定義決定，
跟你從外面看這條線直不直無關。
就像馬英九不一定長得像一隻馬一樣。

如果你要定義圓是一個空間，圓上的弧是直線，當然也可以。
（這時候原本的球就消失了）
不過光是這樣沒有意義，必須像歐幾里得幾何學那樣，定出幾個公理，
我們才能夠討論你定義的這個空間中的東西有什麼性質。

譬如說非歐幾何的雙曲空間符合歐氏幾何的公理一到四，所以可以討論出一些東西。
應該說，非歐幾何把原本的定義擴張了。
直線如同我前面所說，就是兩點間最短路徑連線的延長（符合第一第二公理）。
三角形就是三條直線交於三點形成的形狀。
（順帶一提，球面上還有由兩條直線組成的二角形，厲害吧）
三角形的內角和一樣是三個內角的和，只是不一定是180度。
這些名詞的定義都可以應用在球面幾何、歐氏幾何、雙曲幾何上。

所以其實並沒有整個改變定義，而是把定義擴張。

前幾天討論很熱烈的 zeta(-1) = 1+2+3+... = -1/12 也是一種定義擴張下的產物。
是的，就像你從日本飛美國的時候，沿著緯線飛並不是最短距離，
而是先稍微偏北，之後再往南，才是最短路徑。
其實日本這類科普書或科普電視節目蠻多的，我想ACG作者應該也有受到一些影響啦。
就像氾濫的「薛丁格的貓」或「熵」一樣。台灣是政論節目比較多。
不要放棄啊～ 應該都沒超過高二數學範圍才對～
噢噢太棒了～
其實我看不懂廣義相對論在寫什麼，我才剛弄懂馬克士威方程式而已
我只是科普書的相關工作者，不是科學家啊～
虛數就是虛數，不用翻譯啊～
說真的我不知道XD 我不懂學術啦，只是把我覺得很有趣的東西拿出來聊聊
確實不會講到龐加萊圓盤，不過如果真的講到的話就不只講這些了吧XD
這裡只是稍微提一下龐加萊圓盤的性質而已。
畢竟《數學女孩／龐加萊猜想》這本書是以高中生為對象寫的
（其實只有最後一張有提到龐加萊猜想，前面在講拓樸學和幾何學）
所以我想高中程度的數學應該就看得懂我想表達的意思了～
我覺得跟拉拉蒂娜長比較像
《數學女孩／龐加萊猜想》這本書確實是在講拓樸學，
我覺得拓樸學裡對「連續」的定義真的蠻有趣的XD
不過龐加萊圓盤和龐加萊猜想其實關係不大啦，書中只是稍微提過而已
最近好多人跟我推薦他的影片耶，等我工作告一段落來看看
大俠饒命，我只是看過科普書而已，對上博班生絕對被秒殺，我戶頭裡只有兩百塊啊～
（瑟瑟發抖）
格蕾讚讚，我有寫一篇同人#1Q-Bno49參考看看
https://www.ptt.cc/bbs/TypeMoon/M.1526250951.A.FC9.html
嗯嗯我的想法跟fossileel大大一樣
其實這不是本篇重點，不過因為蠻有趣的就順便講一下。
先複習一下一般空間中的「連續」定義：

當函數f(x)滿足以下式子時，稱f(x)在x=a處連續
  ∀ε>0  ∃δ>0  ∀x [x∈B_δ(a) → f(x)∈B_ε(f(a))]

其中，B_δ(a)與B_ε(f(a))分別代表a和f(a)的鄰域
用大一微積分的概念，可以白話解釋成

　對任意正數ε而言，可依ε選擇某個適當的正數δ，
　使得 對任何實數x而言——
　若x與a的距離比δ小，則f(x)與f(a)的距離比ε小



而拓樸空間中的「連續」定義為：

當映射f(x)滿足以下式子時，稱f(x)在x=a處連續
　∀E∈B(f(a)) ∃ D∈B(a)  ∀x [x∈D → f(x)∈E]

其中，B(f(a))和B(a)分別代表f(a)和a的鄰域
可白話解釋成

　對f(a)的任意開鄰域E而言，可依E選擇某個適當之a的開鄰域D，
　使得 對任何實數x而言——
　若x屬於D，則f(x)屬於E

舉例來說，
定義集合 S = {J, Q, K}
定義集合 O = { {}, {Q}, {J,Q}, {Q,K}, {J,Q,K}}
　由於S ∈ O ，滿足開集第一公理
　由於{} ∈ O ，滿足開集第二公理
　由於任兩集合之交集為開集，滿足第三公理
　由於認兩集合之聯集為開集，滿足第四公理
故O為S的一個拓樸結構，(S,O)為一拓樸空間

定義S→S之映射f如下
　f(J)=K, f(Q)=Q, f(K)=J

以下說明為何在f(J)=K連續
  K有兩種開鄰域，分別為{Q,K}和{J,Q,K}
　取f(J)=K中，K的開鄰域E={J,Q,K}，以及J的開鄰域D={J,Q,K}
　　滿足∀x [x∈D → f(x)∈E]
　取f(J)=K中，K的開鄰域E={Q,K}，以及J的開鄰域D={J,Q}
　　滿足∀x [x∈D → f(x)∈E]
　可知，對於所有K的開鄰域E，皆可找到J的開鄰域，使x滿足∀x [x∈D → f(x)∈E]

  故映射f(x)在x=J處連續。同理，x=K,Q處也連續

相對的，若定義映射g為
  g(J)=Q, g(Q)=K, g(K)=J

　則g在Q連續，但在J、K不連續


嘛，這個看看就好...

我只是看看科普書，我覺得蠻有趣的啦。
這超出我的理解範圍了XD 請物理系的說明一下
流星一條！
別這樣嘛，我正試著把每種魔術、每種寶具都用數學+物理學解釋耶～
你可以想像成，
因為要把一個高斯曲率為負的空間（龐加萊圓盤），
鑲嵌在高斯曲率為零的空間（一般平面），
所以會產生一個高斯曲率為正的空間（球面）作為陰影存在。
沒錯，我就是在一本正經地胡說八道。
其實嚴格來說，數學不是科學而是哲學，所有內容都是人為定義出來的
其實就是距離如何定義的問題。
一般歐幾里得平面是用畢氏定理定義距離，
即ds^2 = dx^2 + dy^2

不過龐加萊圓盤是用這個下面這個式子來定義距離，
ds^2 = [4 / (1 - (x^2 + y^2))^2] (dx^2 + dy^2)
和歐幾里得空間差在紫紅色這項。

這麼定義以後，單位圓就會變成龐加萊圓盤的無限遠處。

至於雙曲面映射到球面...這是我自己掰的，請不要認真看待...
乾不要，我會被電爆。
超有趣der
其實我只有看《數學女孩》系列和wiki而已，在學校只學過大一微積分和線代
嗯嗯，跟我想的一樣
PTT啦乾！
很直觀對吧！
嗚嗚，感謝你幫我說話，太感動惹～
請找土條哥～
有點關係～不過這算是往另一個方向發展～
我是覺得除了用微積分計算距離那段之外，大部分都是可以用高中教的概念理解啦～
只要高中有教到三維空間就行了～
微積分就真的是大學才會教，但就我所知有很多人在高中就學了。
提供你參考 https://imgur.com/pUKygBp.jpg
圖中線段皆為雙曲平面上的直線（測地線）
蘑菇快來找我加入型月世界
嗯嗯跟我想的一樣，今天版眾們想的都差不多呢
給你看看什麼是雙曲面，很直觀吧 https://imgur.com/pUKygBp.jpg
數學就是哲學，數學有自己定義直線的方式
沒錯，我的專長就是一本正經的胡說八道
※ 編輯: dodomilk (111.250.203.22), 12/20/2018 22:00:11

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