看板 WaKnow
作者 標題 [知識分享] 貓熊與數學相遇的地方
時間 2011年03月22日 Tue. PM 04:43:14
看演唱會、看展覽、看動物－－你知道怎麼算出在哪裡視野最好？
今年過年連休四天，阿邱正煩惱著要去哪走走時，想起前陣子新聞不停的在說貓熊搭專機到台北了，長大之後也很少到木柵動物園，趁著這個連假到動物園看看也是不錯的選擇。
天氣冷颼颼，在外面看沒兩下就想躲到沒有風的地方。這時阿邱忽然想到一個問題：「如果貓熊展在戶外的話，距離牠多近，視角會是最好的呢？」這個問題可以用下圖來表示：
![[圖]](http://waknow.com/wp-content/uploads/2011/03/ponda_1.jpg)
貓熊坐在小山丘上，阿邱觀賞的點分別是A點、B點和C點，因為遠近不一樣，看到貓熊的樣子也會不一樣：
在A點會看到：
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/panda_2_1.png)
在B點會看到：
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/panda_2_2.png)
在C點會看到：
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/panda_2_3.png)
A點距離太遠，看起來會有點小；C點距離太近，看起來會太大；那麼一定存在一個B點，是讓視角最好的距離。假設貓熊的身高為s，山丘的高度為h，B點的距離是d，視角是
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/ponda_theda.jpg)
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/ponda_3.jpg)
要怎麼才能求出最大視角呢？這時阿邱心想：「以前學三角函數的時候學過，正切函數是一個遞增函數，所以如果我能找到正切函數的最大值，不就知道最大視角是多少了！」為了求正切函數，我們必須將上面的圖作些修改：
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/ponda_4.jpg)
所以視角的正切函數就可以寫成下面的關係：
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/ponda_cal1.jpg)
我們的目的是求出個d讓視角的正切函數最大，而經過上面的計算我們知道視角的正切函數其實可以表示成d的函數，接下來就可以利用「導數」來求函數的極值：令d的函數對d的導數為0，即是極值可能發生的點。
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/ponda_cal2.jpg)
雖然得到極值可能發生的點，但這個極值有可能是「極大值」或是「極小值」，我們還得進一步驗證，所以作出以下的計算：
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/panda_sol.png)
也就是說，我們只要知道s與h的值，就可以求出一個
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/panda_d.png)
動動腦：
1. 假設山丘的高度是3公尺，那麼觀賞台灣黑熊和北極熊的最佳距離會是多少呢？
![[圖]](http://www.imath.com.tw/pic/forum/daniel/panda/ponda_5.jpg)
2. 還有哪些地方會用到上面算出的式子呢？
iMath關鍵字搜尋網址：
http://www.imath.com.tw/search_engine.html
請搜尋「三角函數 極值 imath」！
網頁原始版出處：Waknow我懂
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※ 作者: waknow 時間: 2011-03-22 16:43:14 來自: 114-42-11-238.dynamic.hinet.net
※ 編輯: waknow 時間: 2011-03-22 16:52:23 來自: 114-42-11-238.dynamic.hinet.net
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